فوريئر سيريز: سنڌ جي تاريخ ۽ سائنس جي ترقي لاء رياضياتي جيالا جو اثر

فوريئر سيريز - هن قول زوريء هڪ قطار ۾ ان دور ڪرڻ لاء ڪم چونڊيو. عام اصطلاح ۾، هن جو حل هڪ orthogonal بنياد تي توسيع عنصر سڏيو ويندو آهي. فوريئر سيريز ۾ ڪم جي توسيع جي جڙڻ، تفرقي، گڏو گڏ ان جي دليل اظهار ۽ convolution ۾ هڪ ڦيرائڻ ۾ transformation جي مال جي ڪري مختلف مسئلا حل ثي رهيو لاء ڪافي هڪ طاقتور اوزار آهي.

هڪ شخص جيڪو اعلي چيڪلو سان واقف، گڏو گڏ ان جي فرانسيسي سائنسدان فوريئر جي ڪم سان نه آهي، سڀ کان وڌيڪ امڪان جيڪي "ايوارڊ" ۽ جيڪي ڪندا آھن تنھن کي سمجهڻ نه ٿيندو. اڃان هن transformation ڪافي محڪم اسان جي زندگين ۾ داخل آهي. ان کي استعمال ڪيو ويندو آهي صرف نه چيڪلو، پر پڻ physicists، chemists، ڊاڪٽرن، و قت، seismologists، oceanographers ۽ ٻيا. اسان کي به وڏي فرانسيسي سائنسدان جن کي دريافت ڪيو، ان وقت جي تڪڙ جي ڪم سان هڪ نظر وڌي وٺي هلون.

انسان ۽ فوريئر Transform

فوريئر سيريز جي طريقن (تجزيو ۽ ٻين سان گڏ) مان هڪ آهي ان جي فوريئر جي Transform. اهو عمل هر وقت هڪ ماڻهو ڪنهن به آواز ٻڌي جاء وٺندو آهي. اسان جي ڪن خودڪار converts آواز لهر. هڪ جڌهن وچولي ۾ پرائمري اڏاريل جي Oscillatory تحريڪ جو سلسلو (جي spectrum) مختلف ھميشه جي ھوريان لاء لڳولڳ مقدار انهيء ۾ وسعت آهي. اڳيون، جي دماغ ۾ اسان لاء واقف آواز ۾ هن ڊيٽا converts. هي سڀ اسان جي خواهش يا شعور پاڻ کي ان کان سواء آهي، پر امان ۾ عمل آهي ته ڪيترن ئي سالن کان وٺي اعلي چيڪلو تعليم حاصل ڪرڻ کي سمجهڻ لاء.

جي فوريئر جي باري ۾ وڌيڪ پڙهڻ Transform

هن فوريئر Transform تجزياتي، numerals ۽ ٻين طريقن جا پيروڪار ڪري سگهجي ٿو. فوريئر سيريز ڪنهن oscillatory عمل decomposing لاء ڏونائي عمل آهن - ته سامونڊي ڇوليون ۽ نور جي موج کان شمسي cycles (۽ ٻين astronomical Objects) کي سرگرمي. اهي رياضياتي طريقن کي استعمال ڪندي، ان جو فعل disassemble ڪرڻ، sinusoidal جزا ته وقفي کان وڌ ۾ وڌ ۽ لکندا کي وڃڻ جي تعداد ۾ ڪنهن به oscillatory عمل نمائندگي ممڪن آهي. هن فوريئر Transform هڪ فعل جي مرحلي ۽ هڪ خاص گهڻي موڙن تي sinusoids جي Amplitude بيان آهي. اهو عمل هڪ تمام پيچيده equations جنهن جي گرمي، روشني يا برقي توانائي جي عمل هيٺ ايندڙ کي متحرڪ عمل بيان قضاوت لاء استعمال ڪري سگهجي ٿو. به، جي فوريئر سيريز پيچيده waveforms ۾ ڊپٽي ڪمشنر حصن ۾ فرق ڪرڻ، ان لحاظ کان صحيح دوائون، ڪيمسٽري ۽ اپگرهه ۾ تجرباتي مشاهدو جو تعبير ڪرڻ آسان بڻائي استعمال ڪيو.

تاريخي معلومات

هن نظريي جي بنيادي پيء جي فرينچ رياضيدان Zhan Batist Zhozef Fure آهي. سندس نالو بعد ۾ ۽ هن transformation سڏيو ويو آهي. شروعات ۾، سنڌ جي سائنسدانن هڪ ٽيڪنڪ استعمال جو اڀياس ۽ گرمل conductivity جي مشين جي وضاحت ڪرڻ - solids ۾ گرمي پرچار. فوريئر تجويز آهي ته گرمل لهر جي ابتدائي چڱيء طرح ورڇ سادو sinusoid ۾ توتڪ ۾ ڪري سگهجي ٿو، جن مان هر هڪ پنهنجي گرمي پد ۾ گھٽ ۽ وڌ ۾ وڌ، گڏو گڏ ان جي مرحلي آهن. اهڙيء طرح جيئن ته هر هڪ کي اتحاد وقفي کان وڌ ۾ وڌ ۽ لکندا ڪرڻ سان ماپي ويندي. رياضياتي فعل ته وکر جي اپر ۽ لوئر peaks، گڏو گڏ هر harmonic جي مرحلي بيان، سڏيو جي فوريئر اظهار جي گرمي پد ۾ ورهائڻ جي Transform. بيٺي مجموعي ورڇ فعل ته رياضياتي بيان ڪرڻ ڏکيو آهي جو نظريو، هڪ انگ تي عمل ڪرڻ لاء هڪ تمام آسان ۾ جي ليکڪ جي periodic ڪم جي ابتدائي ورڇ ڪاري جي مقدار ۾، sine ۽ cosine.

تبديل ڪرڻ ۽ همعصر جي خيالات جي اصول

هن سائنسدان جي همعصر - جي شروعات اڻويهين صديء جي اهم ترين mathematicians - هن نظريي کي قبول نه ڪيو. مکيه اعتراض فوريئر جي منظوري جي discontinuous فعل سڌي لڪير يا وکر بيان ڦاڙيو آهي ته، ان sinusoidal اظهار آهي ته مسلسل آھن جي هڪ صورت طور ظاھر ڪري سگهجي ٿو هو. مثال جي طور تي، غور هڪ "قدم" Heaviside: ان جي اهميت جي وٿي ۽ حق تي هڪ جي کاٻي پاسي کي ٻڙي آهي. هن فنڪشن ۾ جلسي کي سند لاء وقت variable تي بجلي جي موجوده جو انحصار آهي. ته وقت همعصر نظريو، اهڙي صورتحال ۾، هڪ discontinuous اظهار اهڙي exponential، sine، سڌر يا quadratic جيئن مسلسل، عام ڪم، جي ميلاپ جي بيان ڪري سگهجي ها جڏهن ٿي پيو ڪڏهن به نه هئي.

ڇا فوريئر جي نظريي ۾ فرانسيسي mathematicians ڇهندڙ؟

سڀ کان پوء، جيڪڏهن هڪ رياضي دان دليل سان، پوء، هڪ لافاني trigonometric فوريئر سيريز summing حق هو، ان لحاظ کان اظهار جي قدم جي صحيح نمائندگي حاصل ڪرڻ آهي، ته به ان کي اهڙي قدم جو هڪ مقرر ڪئي آهي. اوائلي اڻويهين صديء ۾، هن بيان absurd رهيو. پر سڀني کي شڪ جي باوجود، ڪيترن ئي mathematicians هن سڄو جي مطالعي جي گنجائش وسعت آهن، جي گرمل conduction پڙهائي کان ان کي هوا. بهرحال، سڀ کان سائنسدانن جي سوال جو شڪار ڪرڻ لاء جاري: "؟ جي sine لهر سيريز جي پڄاڻي هڪ discontinuous فعل جو جملي جو قدر ڪرڻ converges ڪري سگهو ٿا"

فوريئر سيريز جي مرکزی: مثال

مرکزی جي مسئلي کي هر وقت توهان انگ جو هڪ لافاني سيريز جي summation جي ضرورت ظاهر. هن سڄو جي ڌيان لاء هڪ شاندار مثال ٻڌ. توهان ڪڏهن، ڀت تائين پهچي ٿو ته هر قدم جي اڌ نظارو آهي؟ ڀلا توهان جي مقصد کان ٻه ميٽر، اڌ ڀرسان رستي ڏانهن وڌي پهريون قدم، ايندڙ آهن - هڪ ٽي-مھماني جو نشان، ۽ پنجين کان پوء، توهان جي واٽ جي لڳ ڀڳ 97 سيڪڙو تي غالب ٿيندا. تنهن هوندي به، ڪو به ڪم ڪيترائي قدم اوھان کي نڪي، جو ارادو ٽارگيٽ اوھان کي ھڪ سخت رياضياتي احساس ۾ پهچي چڪو آهي. عددي حساب ڪندي، اسان کي ثابت ڪري سگهن آخر ۾ هڪ زوريء ننڍي ڏنو فاصلو وڌي ٿي سگهي ٿو ته. هيء هڪ دليل آهي ته پوء تي هڪ اڌ جي ڪل قيمت، هڪ چوٿين، ۽ ثابت ڪرڻ جي برابر آهي. ئ اتحاد لاء توکان موڪلائين تڏھن ڪندا.

مرکزی جو مسئلو: ٻيو آ، يا پالڻھار Kelvin جي آلي

بار بار جي سوال جي آخر ۾ اڻويهين صديء ۾ اختلاف ڪيو، جڏهن ته فوريئر سيريز جي ebbs ۽ وهندو جي شدت گوئي کي استعمال ڪرڻ جي ڪوشش ڪئي آهي. ان مهل، پالڻھار Kelvin ٺاھيو ويو اوزار هڪ اينالاگ ڪمپيوٽر جنهن جي اجازت ملاح نيوي يا مرچنٽ سامونڊي مانيٽر هڪ قدرتي سڄو آهي. هي جيالا بيان ڪيو ويو آهي مرحلن ۽ ڇوليون ۽ لاڳاپيل وقت پل جي ميز جي اوچائي جي amplitudes جي سڌاري، ڌيان سال جي بندر ۾ ماپي. هر سميجي هڪ sinusoidal اتحاد اظهار tide ھميشه آهي ۽ باقاعده حصن مان هڪ هو. ماپ نتيجن کي ڪمپيوٽنگ جي ڊوائس پالڻھار Kelvin کي پٽ، وکر آهي ته هيٺ ڏنل سال جي هڪ فنڪشن جيئن پاڻيء جي اوچائي اڳڪٿي synthesizing آهن. تمام جلد، اهي ور وڪڙ دنيا جي سڀ harbors لاء وٺي ٺاهيا ويا.

۽ جيڪڏھن عمل discontinuous فعل ڀڄي ويندو؟

ان مهل، ان کي پڌرو رهيو آهي ته هن اوزار هڪ سامونڊي لهر predicting، جي حساب جي ڪيترن ئي عنصرن سان لٽيل ۽ amplitudes جي هڪ وڏي تعداد ۾ حساب ڪري سگهي ٿو، ۽ پوء هڪ وڌيڪ صحيح اڳڪٿي مهيا ڪري. پر ان جي باوجود، ان کي ڪڍي موٽيو ته هن طرز ڪيس جتي سامونڊي اظهار ته synthesized ڪيو ويندو، هڪ تکي ٽپو ڏئي موجود ۾ نه هتان آهي، ته آهي، discontinuous آهن. هن واقعي آهي ته مشڪن کي وقت جون پوائينٽون جي هڪ ميز تان ڊيٽا کي داخل ڪرڻ ۾، ان کي ڪجهه فوريئر coefficients calculates. (جي مليا coefficients سان مطابق) جي sinusoidal اتحاد سبب اصل فعل جي وصولي. اصل ۽ reconstructed اظهار جي وچ ۾ يڪسانيت ڪنهن به نقطي تي اندازو ڪري سگهجي ٿو. جڏهن ته ورجائي حساب ۽ comparisons ڏسي سگهجي ٿو ته سنڌ جي وڏي ۾ وڏي غلطي جي قيمت گھٽائي نه آهي. تنهن هوندي به، انهن جي علائقي rupture جي نقطي کي اسي ۾ localized آهن، ۽ ڪنهن ٻئي نقطي ٻڙي لاء توکان موڪلائين تڏھن. 1899 ع ۾، هن جي نتيجي ۾ Yale يونيورسٽي جي نظرياتي يشوع Willard Gibbs جي تصديق ٿي ويو.

فوريئر سيريز جي مرکزی ۽ هڪ سڄي طور تي رياضي جي ترقي

فوريئر تجزيو هڪ خاص interval تي ڦاٽي جي هڪ لافاني تعداد ۾ هجن اظهار تي لاڳو نٿو ٿئي. عام فوريئر سيريز ۾، اصل فعل جي حقيقي جسماني ماپون جو نتيجو سان ظاھر ڪئي آهي ته، هميشه converge. هن عمل جي مرکزی جي ڪم جي مخصوص طبقن لاء سوال چيڪلو جي نئين ٽاريون، اهڙي generalized ڪم جي نظريي جي حيثيت سان آيل آهن. اها ڳالهه اهڙي Schwartz، منا .. Mikusiński ۽ اڪرم مندر طور نالن سان لاڳاپيل آهي. هن نظريي جي مطابق، اهڙي اظهار لاء هڪ واضح ۽ ڪهڙو نظرياتي بنياد ۽ Dirac ڊيلٽا فعل طور قائم ڪيو ويو آهي (اها، ھڪ علائقي جو علائقي جي بيان جي نقطي جي هڪ infinitesimal پاڙي ۾ ضلعا) "قدم" Heaviside. نڪتو چارج، نڪتو ڪاميٽي، مقناطيسي dipoles، ۽ جي شعاع تي ضلعا بار: هن ڪم فوريئر سيريز جي ذريعي equations ۽ پريشاني، جنهن وجداني نظريا داخل قضاوت لاء لاڳو ٿيو.

فوريئر جو طريقو

فوريئر سيريز، مداخلت جي اصولن مطابق، سادو ۾ پيچيده فارم جي decomposition سان شروع ڪري. مثال طور، ڪنهن کي گرمي جي مختلف رڪاوٽون ذريعي ان جي بيتن جي ڪري گرمي جي وهڪري ۾ تبديلي چڱيء شڪل جي مواد insulating يا زمين جي مٿاڇري بدلجندڙ - هڪ زلزلي، جي نجمي جسم جي مدار ۾ تبديلي - جي سياري جي اثر. عام طرح، انهن equations سادو classical نظام همراه هر فرد wavelength لاء حل بيان. فوريئر ثابت ڪيو آهي ته سادي حل وڌيڪ پيچيده ڪمن لاء جيئن جو سم اپ ڪري سگهجي ٿو. رياضي جي ٻوليء ۾، فوريئر سيريز - cosine ۽ sine موج - harmonic جو اظهار پڄاڻي جي جمع ڪرايل جواب لاء هڪ طريقو. تنهن ڪري، هن جائزي ۾ به نالو "harmonic تجزيو" هيٺ سڃاتو وڃي ٿو.

فوريئر سيريز - جي "ڪمپيوٽر جي عمر" کي هڪ مثالي طريقو

ڪمپيوٽر ٽيڪنالوجي فوريئر طريقو جي پيدائش کان اڳ اسان جي دنيا جي لهر فطرت سان ڪم سائنسدانن جي برج ۾ بهترين اسر آهي. پيچيده صورت ۾ فوريئر سيريز اوھان کي نه رڳو سادي مسئلا ته mechanics جي Newton جي قانون جي سڌي درخواست کي amenable آهن، پر پڻ بنيادي equations حل ڪرڻ جي اجازت ڏئي ٿو. جي اڻويهين صديء جي Newtonian سائنس جي دريافتن کي گهڻو ڪري رڳو فوريئر طريقو جي ڪري ئي ممڪن ٿيو.

فوريئر سلسلو اڄ

فوريئر جي ترقي سان Transform ڪمپيوٽرن هڪ نئين سطح تائين اڀرئي آهن. هيء ٽيڪنڪ محڪم سائنس ۽ ٽيڪنالاجي جي لڳ ڀڳ سڀني شعبن ۾ جمھوريت آهي. هڪ مثال طور، هڪ ڊجيٽل آڊيو ۽ وڊيو جي طور تي. ان تي عملدرآمد رڳو شروعات اڻويهين صديء جي فرينچ رياضيدان جي ترقي جي نظريي کي شڪر ممڪن ڪيو ويو آهي. اهڙيء طرح، پيچيده صورت ۾ فوريئر سيريز ٻاهرين خلا جي مطالعي ۾ هڪ ٿرو ڪرڻ جي اجازت ڏني وئي آهي. ان کان سواء، ان semiconductor مواد ۽ پلازما جي طبعيات جي مطالعي، مائيڪرو acoustics، تازو، radar، seismology متاثر ڪري ڇڏيو آهي.

Trigonometric فوريئر سيريز

رياضيات ۾، هڪ فوريئر سيريز سادو جي پڄاڻي جي طور تي ماني پيچيده ڪم نمائندگي جو هڪ طريقو آهي. عام حالتن ۾، اظهار جي تعداد ۾ لافاني ٿي سگهي ٿو. سنڌ جي وڏي تعداد جي حساب ۾ شمار ڪيو، هن وڌيڪ صحيح حتمي نتيجو حاصل آهي. سادي trigonometric cosine يا sine فعل جي سڀ کان وڌيڪ عام استعمال. هن معاملي ۾، جي فوريئر سيريز trigonometric سڏيو ويندو آهي، ۽ اهڙي اظهار جو فيصلو - harmonic decomposition. هيء طريقو چيڪلو ۾ اهم ڪردار نڀائيندو آهي. سڀ کان اول، جو trigonometric سيريز جي تصوير، گڏو گڏ ڪم ڪرڻ جي اڀياس لاء هڪ وسيلو مهيا ڪري، ان جي نظريي جي مکيه يونٽ آهي. ان کان سواء، ان جي اسان کي رياضياتي طبعيات ۾ پريشاني جي هڪ انگ کي حل ڪرڻ جي اجازت ڏئي ٿو. آخر ۾، هن نظريي جي ترقي لاء ڪردار ادا ڪيو آهي رياضياتي تجزيي جي، ان جي رياضياتي سائنس (integrals جو نظريو، periodic ڪم جي نظريي کي) تمام اهم ٽاريون جي هڪ انگ کي جنم ڏنو. ان کان سواء، هيٺيان جي ترقي لاء ٿيندڙ نڪتو بيان،: شادي ڪرائي هڪ حقيقي variable جو ڪم، فعلي ڇنڊڇاڻ، ۽ پڻ harmonic ڇنڊڇاڻ لاء بنياد وڌو.