جي ناڪام integral. ناڪام integrals جي Computation

رياضياتي تجزيي جي بنيادي سيڪشن جي هڪ ئي integral calculus آهي. اهو، اعتراض جي هڪ تمام وسيع ميدان تي پکڙيل آهي، جتي هن پهرين - ان کي ناڪام integral آهي. حيثيت ان لڳل طور تي هڪ اهم هاء اسڪول ۾ اڃا به آهي ته امڪانن ۽ موقعا جي هڪ وڌندا جو تعداد، جن کي اعلي چيڪلو بيان کي روشن ڪري.

ظاهر

پهرين نظر ۾، ان جي ڪنڌ جديد لاء integral لڳي، topical، پر عملي طور ان کي ٻاهر ڦرندو ته هن 1800 ع ۾ واپس آيو ق. گهر ۾ سرڪاري مصر سمجهي ڪري اسان کي ان جي وجود جي اڳ ثبوت تائين پهچي نه ڪيو. اها معلومات جي کوٽ سبب، مڙني کي، جڏهن ته رڳو هڪ سڄو طور positioned. هن چيو ته هڪ ڀيرو ٻيهر سي زماني جي پيپلزپارٽي جي سائنسي ترقي جي سطح تصديق ٿئي. آخر ۾، هن جي ڪم ڏٺا هئا قديم يوناني mathematicians، جي 4th صدي قبل مسيح کان تاريخن. اهي استعمال جتي ناڪام integral جو طريقو بيان، جنهن جي ذات (، ٽي-dimensional ۽ ٻه-dimensional جهاز جي حوالي) جي مقدار يا هڪ وکري ويندا شڪل جي علائقي سٽ ڪرڻ هو. حساب، infinitesimal حصن ۾ اصل شڪل جي ڊويزن جي اصول جي بنياد تي ڪيو ويو مهيا ته جلد (علائقي) کان اڳ انھن کي سڃاتو وڃي ٿو. ڪجهه وقت کان پوء، هن جو طريقو ڀڙڪي چڪو آهي، ارشميدس ان کي استعمال ڪري هڪ پرولي جي علائقي سٽ کي. ساڳئي وقت قديم چين ۾ مشق جو انتظام ڪرڻ تي ساڳي حساب، جتي اهي يوناني ساٿي سائنس کان مڪمل طور آزاد هئا.

ترقي

هن اليون صدي قبل مسيح ۾ سنڌ ۾ ايندڙ ٿرو جي عرب عالم "ويگن" ابو علي Al-Basri، جيڪو اڳ ۾ ئي ڄاڻي جي حدون ڌڪو جو ڪم بڻجي چڪو آهي، ان جي چوٿين ڪرڻ جي مقدار ۽ پهرين کان درجن جي sums حساب لاء integral فارمولا مان نڪتل هئا، هن اسان کي معلوم ٿي لاء جهڙي induction جو طريقو.
اڄ جي دلين کي پنهنجي هٿن مان جيڪي لاء سواء قديم مصري جي ساراھيو آهن ڪنهن خاص اوزار کان سواء هذا آثار پيدا ڪيو، پر آهي ته وقت گهٽ ڪو نه ڪو معجزو جي هڪ طاقت چريو سائنسدانن نه آهي؟ سندن جان جي موجوده دور سان ڀيٽ ۾ لڳ ڀڳ مدي خارج، پر ناڪام integrals جو فيصلو هر deduced ۽ وڌيڪ ترقي لاء عملي طور استعمال ڪيو.

ايندڙ قدم، جي XVI صدي عيسويء ۾ ٿي گذريو اطالوي رياضي دان Cavalieri ناقابل تقسيم جو طريقو آهي، جنهن جي اٻوجھ ماڻهن کڻي جڏهن هر Ferma. اهي ٻه شخصيت جي جديد integral calculus، جنهن جي پل تي سڃاتو وڃي ٿو لاء بنياد وڌو. اهي تفرقي ۽ جڙڻ جي نظريا، جنهن کي عربن خود موجود يونٽن جي طور تي ڏٺو ويا ٻڌل. جو قسم آھي ۽ وڏا، ته وقت جي چيڪلو مربوط اڏاريل پهچڻ پاڻ طرف موجود، محدود استعمال سان هو. واٽ وڃون ۽ سٽ کي عام زمين جي وقت جو هڪ ئي سچو هو، کيس مهرباني، جي جديد رياضياتي تجزيو سٺا ۽ ترقي ڪرڻ جو موقعو مليو.

وقت جي بيتن سان سڀڪنھن شيء کي ۽ integral علامت سان مٽائيندو سان گڏو گڏ. جو قسم آھي ۽ وڏو، ان کي سائنسدانن جو پنهنجي انداز ۾، مثال طور، Newton هڪ چورس شڪل استعمال ڪيو، جنهن هڪ integrable فعل وجهي، يا چئجي گڏجي ڪر نامزد ڪيو ويو. هي تفاوت جي چونڊون صدي ايتري قدر برقرار رهيو، جڏهن جي رياضياتي تجزيو سائنسدان Gotfrid Leybnits سڄي نظريي جي لاء هڪ تاريخي اهڙي ڪردار اسان کي واقف متعارف ڪرايو. ڊگھا ھوندا "آيس" اصل ۾ مان هن خط جي بنياد تي آهي ، ان جي رومن رسم الخط کان primitives جي پڄاڻي denotes. جي integral جي نالي Jakob Bernoulli کي شڪر حاصل ڪري، 15 سالن کان پوء.

هن رواجي سمجھاڻي

جي ناڪام integral جي مدي جي وصف تي دارومدار، پوء اسان جي پهرين جاء تي ان کي سمجهيو.

Antiderivative - رواج ۾ ان کي مدي خارج سڏيو ويندو آهي، جو أخذ جي inverse فعل آهي. ٻي صورت ۾: د جي مدي خارج فنڪشن - هڪ فنڪشن د، جنهن جي أخذ ٿيل <=> ٿيل '= ٿيل آهي. ڳولا مدي کي ناڪام integral حساب ڏيڻو آهي، ۽ عمل پاڻ کي جڙڻ سڏيو ويندو آهي.

مثال طور:

هن فنڪشن جي (وائي) واي ^3، ۽ ان جي مدي خارج آيس (وائي) = (وائي ^{4/4) =.}

∫v (x) dx: - جي ڪارڪردگيء جي موڪليل primitives جي سيٽ جي پٺيان طور تي هن هڪ ناڪام integral آهي، ان denoted.

هن حقيقت جي فضيلت جو قسم آھي ته هلي (x) - رڳو ڪجهه مدي خارج اصل فعل آهي، اظهار قيدين: ∫v (x) dx = ٿيل (x) + ج، جتي سي - مسلسل. جي ماني مسلسل هيٺ، ڪنهن به مسلسل وهم کان ان جي أخذ ٻڙي آهي.

مال

جي ناڪام integral جي مالڪ جي مال، اعتراف جي وصف ۽ derivatives جي مال تي ٻڌل آهي.
سنڌ جي اهم جون پوائينٽون ٻڌ:

• جي مدي جي integral أخذ پاڻ کي مدي خارج سان گڏوگڏ هڪ ماني مسلسل سي <=> ∫V '(x) dx = ٿيل (x) + ج آهي؛
• هڪ فعل جي integral جي أخذ اصل فعل <=> (∫v (x) dx) '= V (x) آهي؛
• مسلسل جي integral سائين <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx، جتي ك هيٺ مان ڪڍي ورتو آهي - ماني آهي؛
• integral، جنهن جي identically integrals جي پڄاڻي جي برابر <=> ∫ (V (وائي) + اوله (وائي)) dy = ∫v (وائي) dy + ∫w (وائي) dy جي پڄاڻي کان ورتو وڃي ٿو.

گذريل ٻن مال سودي ڪري سگهجي ٿو ته ان جي ناڪام integral سڌر آهي. هن جي ڪري، اسين آهي: ∫ (kv (وائي) dy + ∫ lw (وائي)) dy = k∫v (وائي) dy + l∫w (وائي) dy.

حل ناڪام integrals تيار ڪرڻي جو مثال ڏسي.

توهان جي integral ∫ (3sinx + 4cosx) dx سٽ هجڻ ضروري آهي:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + ج = 4sinx - 3cosx + سي.

مثال مان اسان کي ويچار ڪري سگهي ٿو توهان کي ناڪام integrals کي حل ڪرڻ لاء ڪيئن نه ڄاڻندا آھن ڇا ته؟ بس سڀ primitives ڏسي! پر ان جي اصولن جي تلاش هيٺ ڏي وٺ ڪئي.

طريقا ۽ مثالن

جي integral حل ڪرڻ لاء، توهان جي ڏنل طريقن ڏانهن راغب ڪري سگهو ٿا:

• ميز جو فائدو وٺي لاء تيار؛
• سڪندر جي integrating؛
• جي variable کي هٽائي جي مربوط؛
• جي differential جي نشاني هيٺ مٿي summing.

ٽيبل

سنڌ جي سڀ کان سادي ۽ enjoyable واٽ. هن وقت، رياضياتي تجزيو ڪافي وسيع ٽيبل، جنهن کي ناڪام integrals جي بنيادي فارمولا ڪڍي انڊس ڊيلٽا فخر ڪري. ٻين لفظن ۾، اتي توهان کي مٿي نڪتل ٽيمپليٽ آهن ۽ اوھان کي رڳو انھن جو فائدو وٺي سگهن ٿا. هتي جي مکيه ميز موقف آهي، جنهن کي عملي طور هر مثال ڏيکاري ٿي سگهي ٿو جي فهرست، هڪ حل آهي:

• ∫0dy = س، جتي سي - مسلسل؛
• ∫dy = وائي + ج، جتي سي - مسلسل؛
• ∫y ^ن dy = (وائي ^{ن + 1)} / (ن + 1) + ج، جتي سي - هڪ مسلسل ۽ ن - نمبر اتحاد کان مختلف؛
• ∫ (1 / وائي) dy = ٽورنامينٽ | وائي | + ج، جتي سي - مسلسل؛
• ^{∫e وائي dy = أي وائي + ج} ، جتي سي - مسلسل؛
• ^{∫k وائي dy = (ك وائي /} ٽورنامينٽ ك) + ج، جتي سي - مسلسل؛
• ∫cosydy = siny + ج، جتي سي - مسلسل؛
• ∫sinydy = -cosy + ج، جتي سي - مسلسل؛
• ∫dy / cos ² وائي = tgy + ج، جتي سي - مسلسل؛
• ∫dy / گناھ ² وائي = -ctgy + ج، جتي سي - مسلسل؛
• ∫dy / (1 + وائي ²⁾ = arctgy + ج، جتي سي - مسلسل؛
• ∫chydy = شرم + ج، جتي سي - مسلسل؛
• ∫shydy = chy + ج، جتي سي - مسلسل.

جيڪڏهن ضروري آهي، قدم جو هڪ جوڙو هڪ tabular ڏسڻ لاء integrand ڏس ڪر ۽ فتح لطف اندوز ٿيو. مثال طور: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) د (5x - 2) = 1/5 x گناہ (5x - 2) + سي.

جي فيصلي موجب اها ڳالهه واضع آهي ته مثال طور هڪ ميز integrand multiplier 5. وٽ واهولو ته اسان ان کي هن multiplying سان ٻي جاء ۾ 1/5 جي عام اظهار ڪرڻ شامل تبديل نه ڪيو.

سڪندر جي جڙڻ

Z (وائي) ۽ x (وائي) - ٻه ڪم تي غور ڪيو. اهي ان ڊومين تي لاڳيتو differentiable ٿي هجڻ ضروري آهي. د (xz) = xdz + zdx: هڪ تفرقي جي مال اسان ۾. ٻنهي پاسن کان Integrating، اسان کي حاصل ڪري: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

- ∫xdz ∫zdx = zx: جي نتيجي ۾ لاڳاپا وڌائڻ Rewriting، اسان جي فارمولا، جنهن کي سڪندر جي جڙڻ جو طريقو بيان حاصل ڪري.

ڇو ته اهو ضروري آهي؟ جڏهن ته حقيقت اها آهي ته مثال ان simplify ڪرڻ ممڪن آهي جو ڪجهه، جو چون ٿا ڏين، ∫zdx ∫xdz جي خاتمي لاء آهي ته جيڪڏهن جنهنڪري tabular فارم جي ويجھو آهي. به، هن فارمولا لاء ڪوشان رهندا نتيجن لاء، هڪ ڀيرو کان وڌيڪ استعمال ڪري سگهجي ٿو.

ڪيئن ناڪام integrals هن طرح حل ڪرڻ:

• ∫ (ص + 1) حساب لاء أي ^2s ds ضروري

∫ (x + ^{1) اي 2s ds = {Z =} جي + 1، dz = ds، وائي = 1 ^{/ 2e 2s، dy = أي 2x} ds} = ((ص + 1) اي ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((ص + 1) اي ^2s) / 2-أي ^2s / 4 + ج؛

• ∫lnsds حساب هجڻ ضروري آهي

∫lnsds = {Z = lns، dz = ds / جي، وائي = صاحب، dy = ds} = slns - ∫s x ds / ص = slns - ∫ds = slns -s + ج = جن جي (lns-1) + سي.

جي variable کي هٽائي

ناڪام integrals قضاوت جي هن اصول جي باوجود به پيچيدو، جي ڀيٽ ۾ گذريل ٻن مطالبو ۾ گهٽ نه آهن. هن جو طريقو ڏنل آهي: ڏي هلي (x) - ڪجهه فنڪشن هلي (x) جي integral. واري واقعي ۾ پاڻ ۾ مثال slozhnosochinenny ۾ integral اچي ٿو، پريشان حاصل ڪري ۽ نازل جي غلط واٽ حل وڃڻ جو امڪان آهي ته. Z ڪرڻ کان variable x هن عملي طور تي تبديلي، جنهن ۾ عام اظهار ضعف جڏهن ته x تي منحصر جي Z تائين قائم رکڻ سليس کان بچڻ لاء.

رياضياتي لحاظ سان، هن جي پٺيان آهي: ∫v (x) dx = ∫v (وائي (Z)) وائي '(Z) dz = ٿيل (Z) = ٿيل (وائي -1 (x))، جتي x = وائي ( Z) - راء. ۽، يقينا، جي inverse فعل Z = وائي ^-1 (x) ناه جو تعلق ۽ variables جو تعلق بيان ڪري ٿو. اهم نوٽ - جي differential dx ضروري، هڪ نئين differential dz سان متبادل کان ناڪام integral ۾ variable جي تبديلي ان کي هر هٽائي، نه صرف integrand ۾ شامل ٿي.

مثال طور:

• سٽ هجڻ ضروري آهي ∫ (ص + 1) / (ص ² + 2s - 5) ds

لاڳو جي راء Z = (ص + 1) / (ص ² + 2s-5). ان کان پوء dz = 2sds = 2 + 2 (ص + 1) ds <=> (ص + 1) ds = dz / 2. نتيجي طور، هيٺ ڏنل اظهار، جنهن حساب لاء تمام آسان آهي:

∫ (ص + 1) / (ص ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / Z = 1 / 2ln | Z | + ج = 1 / 2ln | صاحب ² + 2s-5 | + ج؛

• توهان جي integral ∫2 ^جي خواهشن ^جي dx سٽ هجڻ ضروري آهي

هيٺ ڏنل فارم ۾ rewrite حل ڪرڻ:

^{∫2 جي خواهشن جي ds = ∫ (} 2e) جي ds.

اسان هڪ = 2e جي Jujuloe تمام (جي دليل هي قدم نه آھي جو متبادل، ان کي اڃا به صاحب آهي)، اسان کي اسان جي seemingly پيچيدو بنيادي tabular فارم کي integral ڏيو:

^{∫ (2e) جي ds = ∫a} جي ds = هڪ صاحب / lna + ج = (2e) جي / ٽورنامينٽ (2e) + ج = 2 ^جي خواهشن ^جي / ٽورنامينٽ (2 + lne) + ج = 2 ^جي خواهشن ^جي / (ln2 + 1) + سي.

هڪ differential سائين مٿي Summing

قسم ۽ وڏي ناڪام integrals جي، هن جو طريقو - variable جي تبديلي جي اصول جي ڳنڍيل ڀاء، پر اتي رجسٽريشن جي عمل ۾ اختلاف آهن. اسان کي وڌيڪ تفصيل سان ويچار ٿا ڪريون.

جيڪڏهن ∫v (x) dx = ٿيل (x) + ج ۽ وائي = Z (x)، پوء ∫v (وائي) dy = ٿيل (وائي) + سي.

ساڳئي وقت اسان جي trivial integral transformations کي وسارڻ نه گهرجي، جنهن مان:

• dx = د (x + ڪو)، ۽ جنھن - هر مسلسل؛
• dx = (1 / هڪ) د (ڪهاڙي + ب)، جتي هڪ - وري مسلسل، پر نه ٻڙي.
• xdx = 1 / 2d (x ² + ب)؛
• sinxdx = -d (cosx)؛
• cosxdx = د (sinx).

جيڪڏهن اسان جي عام صورت جتي اسان جي ناڪام integral حساب ٻڌ، مثال جي عام فارمولا اوله هيٺ subsumed ڪري سگهجي ٿو '(x) dx = dw (x).

مثال:

• سٽ هجڻ ضروري آهي ∫ (2s + 3) ² ds، ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² د (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + ج = (1/6) x (2s + 3) ² + س؛

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + سي.

آن لائن مدد

ڪجهه حالتن ۾، سنڌ جي عيب جنهن جي ٿيڻ يا آرام طلبي ڪري سگهي ٿو، يا هڪ تڪڙي ضرورت آهي، توهان جي آن لائن مطالبي يا بدران استعمال ڪري سگهو ٿا، هڪ ڳڻپيندڙ ناڪام integrals استعمال ڪرڻ. جي وجھندو آھي پيچيدگي ۽ integrals جي اختلافي طبيعت جي باوجود، ان جي فيصلي سندن مخصوص الخوارزمي، جنهن جا اصول تي ٻڌل آهي لوڪ آهي "جيڪڏھن اوھين نه ٿا ... پوء ...".

جي حقيقت، اهڙي ڪيلڪيوليٽر جو هڪ خاص intricate مثال رکن نه ڪندو، جيئن ڪو ڪيس جنهن ۾ هڪ فيصلو سٽ کي هڪ ڄاڻي ٻجهي جي عمل ۾ ڪجهه عناصر ايجاد جي "مجبور"، ڇاڪاڻ ته هن جا نتيجا پهچي کي پڌرو طريقا آهن اٿس آهن. هن بيان جي اختلافي طبيعت جي باوجود، ان کي، هڪ تجريدي سائنس سچ آهي، ته رياضيات جي طور تي، اصول ۾، ۽ ان جو بنيادي مقصد جي حدون اختيار ڪرڻ جي ضرورت ڄاتائين. هن جا موقعا جي اوچائي آهي - بيشڪ، هڪ ڇڏيندو رن ۾ شادي ڪرائي لاء مٿي وڃڻ ۽ درجي، پوء فرض نه ڪندا آھن ته ناڪام integrals قضاوت جي مثال آهن، جن اسان کي ڏني ڪرڻ تمام ڏکيو آهي. پر واپس شين جي فني پاسي ڪري. گهٽ ۾ گهٽ سنڌ جي حساب چيڪ ڪرڻ لاء، توهان جي خدمت آهي جنهن ۾ ان کي اسان لاء لکيو ويو استعمال ڪري سگهو ٿا. جيڪڏهن پيچيده اظهار جي خودڪار حساب لاء ضرورت نه آهي، ته پوء اهي هڪ کان وڌيڪ سنجيده سافٽ ويئر ڏانهن راغب ڪرڻ لاء نه آهي. بنيادي ماحول MatLab تي ڌيان ڏيڻ گهرجي.

درخواست

پهريون ڀيرو چتائي تي ناڪام integrals جو فيصلو، حقيقت کان مڪمل طور تي ون يونٽ لڳي ٿو، ڇاڪاڻ ته ان جهاز جو پڌرو استعمال ڏسڻ ڏکيو آهي. بيشڪ سڌو کين ڪٿي به توهان کي نه ٿو استعمال ڪري، پر اهي عملي طور استعمال حل جي منسوخ جي عمل ۾ ڪنهن ضروري عالم برزخ عنصر آهن. اهڙيء طرح، پوئتي تفرقي جي جڙڻ، اھڙي طرح زور ڏئي equations قضاوت جي عمل ۾ حصو وٺندڙ.
مختصر، هر شئي ته موجوده ۽ مستقبل shaping constitutes ۾ - موڙ ۾، انهن equations مشيني پريشاني جي فيصلي تي سڌو اثر، trajectory حساب ۽ گرمل conductivity آهن. ناڪام integral، مثال جنهن جي اسان کي هڪ بنيادي طور وڌيڪ ۽ وڌيڪ نئين دريافتون ڪيون لاء جيئن مٿي سمجهي ڪيو آهي، پهريون ڀيرو چتائي تي صرف trivial،.